<t->
          Matemtica
          Ideias e desafios
          8 Ano 
          Ensino Fundamental          
          
          Iracema Mori
          Dulce Satiko Onaga

          Impresso Braille em 10 
          partes, na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 15 edio reformulada 
          -- 2009 So Paulo, 
          da Editora Saraiva.

          Stima Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2013 --
<p>
          Matemtica: Ideias e Desafios 
          -- 8 ano (Ensino 
          Fundamental)
          Copyright (C) Iracema Mori, 
          Dulce Satiko Onaga, 2009
          Direitos desta Edio:
          SARAIVA S.A. -- Livreiros 
          Editores, So Paulo, 2009 

          Gerente editorial 
          Marcelo Arantes
          Editora 
          Viviane de L. Carpegiani 
          Tarraf 
          Editores assistentes 
          Renato Alberto Colombo Jr.; Rita de Cssia Sam

          Todos os direitos reservados 
          Editora Saraiva 2010
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          -- CEP 05413-010 -- Pinheiros 
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          E-mail: ~,atendprof.didatico@~
          editorasaraiva.com.br~,
<p>
                               I
Sumrio 

Stima Parte

Unidade 8

Retas coplanares e 
  ngulos :::::::::::::::::: 681
1 -- Retas coplanares :::: 682
Posies relativas de 
  duas retas coplanares :::: 684
2 -- Nomeando pares de 
  ngulos e estabelecendo 
  relaes ::::::::::::::::: 698
ngulos opostos pelo
   vrtice :::::::::::::::::: 698
ngulos adjacentes :::::::: 699
ngulos correspondentes ::: 707
ngulos colaterais :::::::: 709
ngulos alternos :::::::::: 711
3 -- Retas paralelas e 
  ngulos de um 
  tringulo :::::::::::::::: 729
Leitura + (mais) :::::::: 742
Reviso cumulativa 
  e testes ::::::::::::::::: 746

Unidade 9

Polgonos e 
  propriedades ::::::::::::: 752
1 -- Polgonos ::::::::::: 754
Elementos de um 
  polgono ::::::::::::::::: 758
Polgonos convexos :::::::: 763
2 -- Diagonais de um 
  polgono convexo ::::::::: 769 
3 -- Soma das medidas 
  dos ngulos de 
  um polgono :::::::::::::: 782 
Soma das medidas dos 
  ngulos externos ::::::::: 793
4 -- Polgonos 
  regulares :::::::::::::::: 800
Leitura + (mais) :::::::: 808
Reviso cumulativa 
  e testes ::::::::::::::::: 810

<228>
<ti. d. mat. 8 ano>
<T+681>
 Unidade 8

 Retas coplanares e ngulos

<R+>
_`[{trs fotos no adaptadas seguidas por legenda_`]
 Legenda 1: A superfcie de um lago em um dia sem vento nos d a ideia de um plano.
 Legenda 2: As pirmides do Egito so testemunhas do grande conhecimento que os egpcios tinham sobre a Geometria.
 Legenda 3: Atualmente, embalagens so produzidas nas mais variadas formas geomtricas.

<229>
_`[{foto no adaptada seguida por legenda_`]
 Legenda: A sinalizao feita sobre o asfalto em um trecho de rua em linha reta lembra retas paralelas.
<R->

<229>
  Imagens e objetos que encontramos em nosso dia a dia apresentam em comum formas geomtricas e justificam a importncia de conhec-las.
  Nesta unidade, vamos rever algumas figuras geomtricas, explorar suas propriedades e conhecer novas propriedades.
<R+>
  Observe sua sala de aula e os objetos que se encontram nela. Quais deles lembram retas? E ngulos?
  Onde se veem ngulos retos?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<230>
 1 -- Retas coplanares

  A reta  uma das figuras geomtricas que j estudamos. Ento, vamos relembrar alguns conceitos geomtricos que envolvem retas e conhecer outras propriedades.
  Observe este cubo _`[no adaptado_`].
  Nele destacamos as retas *p*, *r* e *t*, que so retas suportes de trs das arestas do cubo. Algumas esto em um mesmo plano e outras, no.

<R+>
 wr
  Quais retas esto em um mesmo plano?
  As retas *p* e *t* esto em um mesmo plano?
  Como chamamos duas retas que esto em um mesmo plano?
<R->

  Em Geometria, dizemos que as retas *p* e *r* so coplanares.

_`[{a menina diz_`]
  "Coplanares?!? Voc sabe o que  isso?"

_`[{o menino diz_`]
  "Coplanar significa em um mesmo plano!"

  As retas *p* e *t*, no entanto, no so coplanares, pois no se encontram em um mesmo plano.
<P>
 Posies relativas de duas 
  retas coplanares

  Na figura a seguir, as retas *r* e *u* so coplanares e tm um nico ponto em comum.
  As retas *m* e *s* tambm so coplanares, mas no tm pontos comuns entre si.

<F->
r         u
        
       
      
     
    
  Ao
    
     
      
       
         

m::::::::::::::::
s::::::::::::::::
<F+>
<P>
 wr
<R+>
  Como so denominadas as retas que tm um nico ponto em comum? E as retas que no tm pontos em comum?
  Duas retas paralelas so sempre coplanares?
<R->

  Na situao anterior, as retas *r* e *u* so coplanares, assim como as retas *m* e *s*.

<R+>
 *r* e *u* tm um s ponto em comum: o ponto A.
 *r* e *u* so retas concorrentes.
 *m* e *s* no tm pontos comuns.
 *m* e *s* so retas paralelas.
<R->

<231>
  Em algumas situaes, duas retas coplanares tambm podero ser coincidentes. Nesse caso, elas tero todos os pontos em comum.
  Resumindo, duas retas coplanares podem ser paralelas, concorrentes ou coincidentes.
<P>
  Mariana desenhou duas retas paralelas e uma transversal em relao a elas.
<F->
                t    
                 
                
              
            b a
 r :::::::::::::::::::::
          c d
        n  m
 s ::::::::::::::::::::
       p x
       
       
       
<F+>

_`[{a menina diz_`]
  "Copiei os ngulos :m, :n, :p e :x... ...e fiz algumas comparaes."

<R+>
 wr
  Faa voc tambm uma cpia dos ngulos :m, :n, :p e :x em uma folha de papel de seda e sobreponha-a sobre ao ngulo :a, :b, :c e :d. O que po-
<P>
  demos afirmar sobre os ngulos agudos dessa figura?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Fazer uma cpia dos ngulos :m, :n, :p e :x e sobrep-la sobre os ngulos :a, :b, :c e :d  como aplicar uma translao de :m, :n, :p e :x at se sobrepor a :a, :b, :c e :d.
  Se duas retas, *r* e *s*, paralelas entre si so interceptadas por uma transversal *t*, ento, todos os ngulos agudos que se formam so congruentes entre si.

 :a==:c
 :a==:m
 :a==:p
 :c==:m
 :c==:p
 :m==:p
<P>
  Podemos, ento, concluir que:
<R+>
  todos os ngulos obtusos so congruentes entre si.

 :b==:d
 :b==:x
 :b==:n
 :d==:x
 :d==:n
 :n==:x

  todos os pares de ngulos em que um  agudo e o outro  obtuso so ngulos suplementares.

 a+d=180
 a+x=180
 m+d=180
 b+p=180
 c+n=180
 p+n=180
<R->

  Note que passamos a indicar: med :a=a; med :d=d; med :m=m; med :n=n.
  Vamos mostrar, por exemplo, que: ":d e :x so congruentes e 
<P>
 :a e :x so ngulos suplementares.

<R+>
 a+d=180
 m+x=180
 a+d=m+x 
 Como :a==:m, temos d=x, ou seja, :d==:x.
 a+d=180
 d=x 
 a+x=180
 :a e :x so ngulos suplementares.
<R->

<232>
  Reflita sobre a situao a seguir:
  Se as retas *r* e *s* da figura _`[no adaptada_`] no forem paralelas, valero as congruncias, vistas na atividade anterior, para os pares de ngulos que se formaram?
  Verifique no desenho _`[no adaptado_`] e obtenha uma resposta.
<P>
_`[{o menino diz_`]
  "Mea e compare alguns pares de ngulos..."

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
 wr
  Os ngulos :a e :m so congruentes? E os ngulos :n e :b?
  Os ngulos :n e :c so suplementares?
   possvel formar um par de ngulos de modo que um deles tenha vrtice A e o outro, vrtice B, e que sejam congruentes?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Vamos comparar dois ngulos, um com vrtice em A e outro em B, ou seja, em cada par os ngulos tm vrtice em retas diferentes.

<R+>
 Dois agudos: a=30 e m=80. As medidas no so iguais.
 Dois obtusos: b=150 e x=100. As medidas no so iguais.
 Um agudo e outro obtuso: c=30 e n=100. As medidas no somam 180.
<R->

 Temos:
<R+>
 *r* e *s* so retas no paralelas.
 A reta *a*  transversal a *r* e a *s*.
 Dois ngulos agudos no so congruentes.
 Dois ngulos obtusos no so congruentes.
 Um ngulo agudo e outro obtuso no so suplementares.
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. O que significa dizer: Duas retas *m* e *r* so concorrentes?
 2. Se *m* e *t* so retas coplanares e no tm pontos comuns, ento como  *m* em relao a *t*?

 3. Na figura a seguir, s_lp. Identifique um par de ngulos:

<F->
               
        Mg    gN
             
            
 X  A    B   R
:g::::g::::g::::::g::
a                
        
 Lg    gS
      
  s   p
<F+>

 a) congruentes;
 b) suplementares.

 4. Observando novamente a figura da atividade anterior, responda s questes:

 s_lp *a*  transversal.
<P>
 a) Por que med :?{m{a{x*= med :?{b{a{l*?
 b) Por que med :?{m{a{x*= med :?{r{b{s*?
 c) O que podemos dizer sobre med :?{m{a{x* e med :?{n{b{r*? 

<233>
 5. Rita desenhou a figura a seguir em seu caderno. Ao medir os ngulos assinalados, ela obteve med :?{b{a{c*=70 e med :?{a{m{p*=80. As retas *a* e *b* so paralelas?
 
<F->
     
      gB
       A
a::g::::g::::::::::::
  C               
          
           M
b::g::::::::g::::::::
  P               
              
               
<F+>
<P>
 6. Na figura a seguir _`[no adaptada_`] desenhou-se o tringulo {d{u{z e, em seguida, foi feita uma translao de {d{u{z para obter o tringulo {c{z{e.

 ...e Z  o correspondente de U.

 a) Em que direo e sentido foi feita a translao do tringulo {d{u{z?
 b) Identifique duas retas paralelas nessa figura.
 c) Identifique trs pares de ngulos congruentes.
 d) O que podemos dizer sobre os ngulos :?{d{z{c* e :?{z{c{b*?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Problema resolvido

 7. Nesta figura, *r* e *s* so retas paralelas e *x*  uma medida em graus. Qual  o valor de *x*?
<P>
<F->
                   t    
                    
                  gA 
                 
      B   180     
 r :::g::::::::g::::::::
              R
     C      
 s ::g::::::g:::::::::::
   4x-34S       
          
         gD 
          
<F+>

  r_ls; *t*  transversal.
  :?{b{r{a*  um ngulo obtuso.
  :?{c{s{d*  um ngulo agudo.

 Logo: med :?{b{r{a* + med :?{c{s{d*=180
 138+4x-34=180
 4x+104=180
 4x=180-104
 4x=76 
 x=19
 
 Resposta: O valor de *x*  19.

 8. Nesta figura, as retas *m* e *n* so paralelas e *t*  uma transversal a *m* e a *n*.

<F->
                t    
                 
             Rg 
              
     S    M     A
 m :::g:::::g::::::g:::::
           3a-10
    107 m
 n ::g:::::::::::g:::::
     B N       X
       
      gY
      
      

<F+>

 a) :?{a{m{n* e :?{m{n{b* so congruentes ou suplementares?
 b) Qual  a medida de :?{a{m{n*?
 c) Qual  o valor de *a*?
 d) Qual  a medida de :?{s{m{n*? Justifique sua resposta.
<P>
 e) Identifique outro ngulo que tenha vrtice em N e a mesma medida que :?{a{m{n*.

 9. Nas figuras a seguir, r_ls. Determine os valores de *x*, *y* e *z*.
<F->
a)            t    
                 
               
              
            zy    
 r ::::::::::::::::::::
           x
           
 s ::::::::::::::::::::
    48         
       
       
       
<F+>
<P>
<F->
b) t
     
      
       
r ::::::::::::::::: 
   120           
          
           y
s ::::::::::::::::: 
            xz      
              
               
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<234>
 2 -- Nomeando pares de ngulos 
  e estabelecendo relaes

 ngulos opostos pelo vrtice

  Observe a figura a seguir e responda:
<P>
<F->
            r          s                        
            i         i
           i         i
          i         i
         i         i
      b i a     n i m      
t :::::i:::::::::i::::::::::
    c i d     p i x
     i         i
    i         i
   i         i
  i         i
<F+>

<R+>
 wr
  Em que situao dois ngulos so opostos pelo vrtice?
  Identifique trs pares de ngulos opostos pelo vrtice.
<R->

 ngulos adjacentes

  Observe os pares de ngulos destacados nas figuras a seguir e responda s questes.
<P>
<F->
            i
    Cg    gB
        i
      i
    i
  i
Occcccccccccgcccccc
             A
<F+>

 :?{a{o{b* e :?{a{o{c*.

<F->
            i
    Mg    gN
        i
      i
    i
  i
Ecccccccccccgcccccc
             P
<F+>

 :?{m{e{n* e :?{n{e{p*

<R+>
 wr
  Entre os pares de ngulos quais so adjacentes?
  Em que situao dois ngulos so adjacentes?
<R->
<P>
  As questes propostas j foram estudadas, mas sempre  bom relembrar.

<F->
                     i
        Ag         gB  
                 i
               i
             i
            iV 
          i   
        i      
    M.g         gP 
    i            a 
<F+>

 :?{a{v{b*==:?{m{v{p*

<R+>
 Dois ngulos so opostos pelo vrtice (o.p.v.) quando os lados de um so as semirretas opostas dos lados do outro.
 Dois ngulos so adjacentes quando possuem apenas um lado em comum.
<P>
 No tm pontos da regio angular em comum.
<R->

<F->
       ^
     ^
   ^
 ^ a
::::::::::
 a,.  m
    a,.
       a,.
<F+>

 :a e :m so ngulos adjacentes.

  Observe esta figura:

<F->
                     ir
                   i   
                 i
             b i
           c i
            i a 
          i d 
        i      
      i          
    i            a s
<F+>
<P>
_`[{a menina diz_`]
  ":a e :b so ngulos suplementares..."

_`[{o menino diz_`]
  "...:a e :c so ngulos opostos pelo vrtice."

<R+>
 wr
  Mostre que dois ngulos opostos pelo vrtice so congruentes.
<R->

<235>
  Vamos mostrar que, como :a e :c so ngulos opostos pelo vrtice, :a e :c tm medidas iguais, ou seja, so congruentes:

<R+>
 :a e :b so ngulos suplementares -- a+b=180
 :b e :c so ngulos suplementares -- b+c=180
 med :a=a
 med :b=b
 med :c=c
 a+b=180 -- b=180-a
 b+c=180 -- b=180-c
 180-a=180-c
 -a=-c
 a=c -- :a==:c

 Dois ngulos opostos pelo vrtice so congruentes.
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 10. Nas figuras a seguir, *x* representa uma medida em graus. Determine o valor de *x* em cada situao.

 *a*  uma medida em graus.

<F->
a) e
      e
        e 
          e
            e
          4x e ?2x~3*-30
   -------------e-----------
<P>
b)       s    r   
          _    
          _  
          _x
          _    
 2a-37# a+42
         _
         _
         _
         _
         _ 
<F+>

 11. Nesta figura, *y* representa uma medida em graus. Qual  o valor de *y*?

<F->
         ?9y+36*~5   
                   i   
                 i
               i
             i
            i   
          i   
        i      
      i          
    i 3y-28    
 ai               b
<F+>
<P>
 12. Nesta figura, a medida de :?{a{o{b* supera em 18 o triplo da medida de :?{b{o{c*. Qual  a medida de :?{c{o{d*?

<F->
               t   
               i 
            A= 
             i 
            i
       B  i       p
:::::::=::i::=:::::: 
       Oi   D     
        i  
       i  
     =C  
    i 
<F+>

 13. Na figura _`[no adaptada_`], *x* representa uma medida em graus e :?{r{o{p*==:?{m{o{n*. Qual  a medida de :?{s{o{u*? 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
 ngulos correspondentes

  Na figura a seguir as retas *r* e *s* so paralelas e *t*  uma reta transversal a elas.
  Os ngulos :a e :m esto no mesmo lado do plano em relao a *t*, :m est entre as paralelas e :a, fora delas. Alm disso, :a e :m tm vrtices em retas diferentes.

<F->           
                t
               
              
           b  a    
 r ::::::::::::::::::
         c  d
          
       y  m
 s :::::::::::::::::
     p  x         
      
      
    
:a e :m so ngulos 
  correspondentes
<F+>

<R+>
 wr
  Identifique outros dois pares de ngulos correspondentes.
  Os ngulos :a e :m so congruentes? E os pares de ngulos que voc identificou?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<236>
  Na figura dada na situao anterior :a e :m, :b e :y, :c e :p e :d e :x so os pares de ngulos correspondentes. Em qualquer desses pares os dois ngulos so agudos ou so ambos obtusos. Portanto:

 a=m -- :a==:m 
 b=y -- :b==:y 
 c=p -- :c==:p
 d=x -- :d==:x

<R+>
 Duas retas paralelas formam com uma reta transversal a elas ngulos correspondentes congruentes.
<R->
<P>
 ngulos colaterais

  Na figura a seguir, as retas *r* e *s* so paralelas e *p*  uma reta transversal a elas.
  Os ngulos :d e :x esto do mesmo lado do plano em relao  reta *p*, entre *r* e *s*, e tm vrtice em retas diferentes.

_`[{a professora diz_`]
  ":d e :x so ngulos colaterais internos."

<F->
          r          s 
          i         i
         i         i
        i         i
       i         i
    b i a     n i m      p
:::::i:::::::::i::::::::::
  c i d     x i y
   i         i
  i         i
 i         i
i         i
<F+>
<P>
<R+>
 wr
  Identifique outro par de ngulos colaterais internos.
  O que ocorre com as medidas dos ngulos :d e :x? Isso ocorre com o par de ngulos que voc identificou?
<R->

  Na situao anterior, assim como :d e :x, os ngulos :a e :n so ngulos colaterais internos. Como um deles  agudo e o outro  obtuso, eles so ngulos suplementares.

 d+x=180
 a+n=180

  Ainda com relao  figura anterior, :c e :y formam um par de ngulos colaterais externos, assim como :b e :m. Como um deles  agudo e o outro  obtuso, eles so ngulos suplementares.

 c+y=180
 b+m=180

<R+>
 Duas retas paralelas formam com uma reta transversal a elas ngulos colaterais internos suplementares.
 Duas retas paralelas formam com uma reta transversal a elas ngulos colaterais externos suplementares.
<R->

<237>
ngulos alternos

  Na figura a seguir, as retas *r* e *s* so paralelas e *t*  uma reta transversal a elas.
  Os ngulos :d e :x esto em lados opostos do plano em relao  reta *t*, entre *r* e *s*, e tm vrtices em retas diferentes.

_`[{a professora diz_`]
  ":d e :x so ngulos alternos internos."
<P>
<F->
                t    
               
              
           b  a    
 r ::::::::::::::::::
         c  d
          
       x  n
 s :::::::::::::::::
     y  m         
      
      
      
<F+>

<R+>
 wr
  Identifique outro par de ngulos alternos internos.
  O que ocorre com as medidas dos ngulos :d e :x? Isso ocorre com o par de ngulos que voc identificou?
<R->

  Na figura anterior, assim como :d e :x, os ngulos :c e :n formam um par de ngulos alternos internos. Em cada um desses pares ambos os ngulos ou so obtusos, ou so agudos. Portanto, :d e :x so congruentes, assim como :c e :n. 

 d=x -- :d==:x
 c=n -- :c==:n

  Ainda com relao  figura anterior, os ngulos :a e :y e :b e :m formam pares de ngulos alternos externos. Em cada um desses pares ambos os ngulos ou so obtusos, ou so agudos. Portanto, :a e :y so congruentes, assim como :b e :m.

 a=y -- :==:y
 b=m -- :b==:m

<R+>
 Duas retas paralelas formam com uma reta transversal a elas ngulos alternos internos congruentes.
 Duas retas paralelas formam com uma reta transversal a elas ngulos alternos externos congruentes.
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 14. Em que condies dois ngulos so correspondentes?
 15. Faa um desenho e nomeie um par de ngulos colaterais internos, outro de colaterais externos e outro de alternos externos.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 16. O que podemos dizer sobre dois ngulos correspondentes quando as retas interceptadas por uma reta transversal so paralelas? E sobre dois ngulos colaterais externos?
 17. Dois ngulos adjacentes podem ser correspondentes?

<238>
 18. Nesta figura, temos r_ls e m=52.
<P>
<F->
                t    
               
              
           b  a    
 r ::::::::::::::::::
         c  d
          
       n  m
 s :::::::::::::::::
     p  x         
      
      
      
<F+>

 a) Identifique um par de ngulos alternos internos e um par de ngulos colaterais externos.
 b) Em relao s retas paralelas *r* e *s* e  transversal *t*, que nome damos ao par de ngulos :d e :m? O que podemos afirmar sobre as medidas desses ngulos?
 c) Que tipos de ngulo formam :m e :p? E :m e :x?
 d) Quanto mede :p? E :x? 
<P>
 19. Nesta figura, quais so as medidas dos ngulos que tm vrtice A? E daqueles que tm vrtice B?

 r_ls

<F->
      t
      
        l
      m  A
r :::::::o::::::::::: 
        p  q         
                   
              h
           f  B
s ::::::::::::o::::::: 
         134  g      
                
                 
<F+>

 20. Nesta figura, qual  o nome dos pares de ngulos a seguir?

 a_lb 
<P>
<F->
                t    
               
              
           m  p   
 a ::::::::::::::::::
         s   
          
       x  y
 b :::::::::::::::::
                  
      
      
     
<F+>

 a) :m e :x.  
 b) :s e :x.  
 c) :p e :y.
 d) :s e :y.
 e) :x e :y.
 f) :p e :s.

 21. Nesta figura, r_ls, *x* e *y* so as medidas de dois ngulos colaterais internos.
<P>
<F->
      t
      
         
          
r :::::::o::::::::::: 
        x            
                   
               
            y  
s ::::::::::::o::::::: 
                       
                
                 
<F+>

 a) Que relao existe entre *x* e *y*?
 b) Qual o valor de *y*, se x=143?
 c) Se x=y, qual ser a posio de *t* em relao a *r*? E em relao a *s*?

 22. Nas figuras a seguir, *c* e *d* representam medidas dos ngulos destacados. Justifique e determine, em cada situao, o valor de *y* e o valor de *c*.
<F->
<P>
a) r_ls 

 c=3y-48
 d=138

                t    
               
              
                  
 r ::::::::::::::::::
            c
          
           
 s :::::::::::::::::
        d         
      
      
    

b) p_ln

 c=2y+35
 d=4y-57
<P>
               m    
               
              
              c    
 p ::::::::::::::::::
             
          
           
 n :::::::::::::::::
     d           
      
      
    
<F+>

 23. Nesta figura, *r* e *s* so retas paralelas e *t*  uma reta transversal a elas. As letras *a* e *y* representam medidas em graus.
<P>
<F->
               
   Cg         Bg
                 
a+45          P 4a  A
:g::::::g:::::::::::g::::::g: t
 D    R         y           
                     
                      
          Eg         Fg      
                        
              s           r
<F+>

 a) :?{a{p{b* e :?{c{r{d* so ngulos congruentes ou suplementares?
 b) Qual  o valor de *a*?
 c) Qual  a medida de :?{c{r{d*? E de :?{a{p{b*?
 d) Qual  o valor de :y? Justifique sua resposta.
<R->

<239>
 Troque ideias e resolva

  Na figura, *r*  paralela a ^c?{b{c*.
<P>
<F->
                  a
                a
            Aa  a    
 r :::::::::o:::::::::
          a 
        a    
      a x+50
    a          
  a             
a x-18      2x
acccccccccccccccccc
B               C
<F+>

_`[{a professora diz_`]
  "Quanto mede :a?"

 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 24. Nesta figura a_lb. Determine os valores de *x*, *y* e *z*.
<P>
<F->    
         a        a
           a y  a
           z aa x  
a ::::::::::::o::::::::: 
            a 
          a    
        a       
      a          
    a 64    56
b :i::::::::::::::::e:::::: 
                    
<F+>

 25. Nas figuras a seguir, as retas *a* e *b* so paralelas. Determine os valores de *x*, *y* e *z*.
<F->

a)        b          a 
           i         i
          i         i
         i         i
        i z       i        
t :::::i:::::::::i::::::::::
    x i y       i 118
     i         i
    i         i
   i         i
<F+>

<F->
b)  t                     p
                         
  30                  
a ccccccccccccccccccccccccc 
                       114
                     
                     
                   
                  
              y  
                
             z  x
b cccccccccccccccccccccccccc   
<F+>
<R->
<P>
 Troque ideias e resolva

  Na figura a seguir, *r* e *s* so retas paralelas.

<F->
     C                B
r cccoccccccccccccccccoccc
        54     68
                    
                   
s ccccccccoccccccoccccccc
         N      M
                
               
               
              o
              A
<F+>

<R+>
  Quais so as medidas dos ngulos do tringulo {a{m{n? Justifique seus clculos.
<R->

<240>
<R+>
_`[{para os exerccios de 26 a 28 pea orientao ao professor_`]

 26. Na figura _`[no adaptada_`], *r* e *s* so retas paralelas e *t*  uma reta transversal em relao a elas. As letras *x* e *y* representam medidas em graus.
 a) Qual  o nome do par de ngulos :?{f{r{s* e :?{a{s{e* em relao s retas *r*, *s* e *t*?
 b) O que podemos afirmar sobre as medidas de :?{f{r{s* e :?{a{s{e*?
 c) Qual  o valor de *x*?
 d) Qual  o nome do par de ngulos :?{a{s{e* e :?{c{s{d? O que podemos afirmar sobre 3x e *y*?
 e) Qual  o valor de 3x? E de *y*?
 f) Qual  a medida de :?{a{r{b*?

 27. Na figura _`[no adaptada_`], *a*, *b* e *c* so retas paralelas entre si e *t*  uma reta transversal a elas.
 a) Use a letra *x* em uma expresso que represente a medida de :?{p{a{b*.
<P>
 b) Qual  o nome do par de ngulos :?{p{a{b* e :?{m{c{v* em relao s retas *a*, *c* e *t*? O que podemos dizer sobre as medidas desses ngulos?
 c) Qual  o valor de *x*?
 d) Qual  o valor de med :?{m{c{v?

 *x* e *y* representam medidas em graus.

 28. Na figura da atividade anterior, b_lc e *t*  uma reta transversal a elas. Os ngulos :?{r{b{v* e :?{m{c{v* so obtusos.
 a) O que podemos dizer sobre suas medidas?
 b) Qual  a medida de :?{r{b{v*?
 c) Qual  a medida de :?{t{b{v*?
 d) Qual  o valor de *y*?

 29. Nesta figura, as retas *a*, *b* e *c* so paralelas duas a duas. Determine os valores de *x*, *y*, *z* e *u*.

<F->
                      t
                     
                    64
a ccccccccccccccccccccc 
                  
               u  
b cccccccccccccccccccc 
        52  
          y  
            
         z  x
c cccccccccoccccccccccc 
<F+>

_`[{para o exerccio 30, pea orientaao ao professor_`]

 30. Determine os valores de *x*, *y* e *z* nas figuras _`[no adaptadas_`].
<R->

 Troque ideias e resolva

  Nesta figura _`[no adaptada_`], *m*, *n* e *p* so retas paralelas entre si.
<P>
<R+>
  Qual  a medida do ngulo :?{x{p{y*?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

 3 -- Retas paralelas e ngulos 
  de um tringulo

_`[{o professor diz_`]
  "Vocs se lembram? Em qualquer tringulo"

_`[{o menino diz_`]
  "a soma da medida dos ngulos internos  180."
<P>
<F->
      A
      
      a
        
            
          
 b        c    
------------o 
B          C   
<F+>

  Uma verificao experimental dessa propriedade consiste em desenhar um tringulo qualquer, recortar seus ngulos e com eles compor um ngulo raso, cuja medida  180.
  Observe como fazemos:

 Recortamos e compomos.

<F->
        180  
            
         a 
        c  b           
ccccccccccocccccccccc
          A
<F+>

 a+b+c=180
<P>
 *a*, *b* e *c* representam 
  medidas.

  Mas nem sempre procedemos dessa forma em Geometria. A partir de algumas propriedades consideradas verdadeiras, demonstramos outras, baseadas nas anteriores.

_`[{a menina diz_`]
  "Propriedades que consideramos verdadeiras?!?"

_`[{o professor diz_`]
  "So as hipteses"

_`[{o menino diz_`]
  "Demonstrar outra?!?"

_`[{o professor diz_`]
  " a tese."

  Vamos exemplificar o que foi dito, demonstrando que:
<P>
<R+>
 Em qualquer tringulo, a soma das medidas dos ngulos internos  igual a 180.

 Hipteses
  {a{b{c  um tringulo qualquer; 
  *a*, *b* e *c* so as medidas dos ngulos do tringulo {a{b{c.

 Demosntrao
 Tese -- a+b+c=180

<F->
       A
       
       a
         
             
           
            
 b          c
--------------o 
B            C   
<F+>
<R->

  Para demonstrar essa propriedade, vamos desenhar novamente o tringulo {a{b{c e traar a reta *r* que passa por A e  paralela a ~:,?{b{c*.
<P>
 r_ls e ~:,?{a{b*  uma 
  transversal.

<R+>
 :?{m{a{r* e :?{m{b{c* so ngulos correspondentes
 :?{m{a{r*==:?{m{b{c* -- x=b

<F->
         N   M
           y
    P   z  x      R
r --o-----o--------o--          
            A
           a
             
                 
               
                
      b        c 
 s ---------------o-  
    B             C   
<F+>

<242>
 :?{n{a{m* e :?{b{a{c* so ngulos o.p.v. 
 :?{n{a{m*==:?{b{a{c* -- y=a

 r_ls e ~:,?{a{c*  uma transversal.

 :?{n{a{p* e :?{a{c{b* so ngulos correspondentes 
 :?{n{a{p*==:?{a{c{b* -- z=c

 :x, :y e :z tm vrtice em A.  :x, :y e :z so adjacentes.

 :x, :y e :z formam um ngulo raso 
 x+y+z=180
 b+a+c=180 ou a+b+c=180
<R->

 Troque ideias e resolva

  Nesta figura, {m{r{p  um tringulo retngulo.

<F->
         P
         e
        p  e
             e
               e   
                 e
                   e
                     e
   m                 r e148
 -----------------------o-----    
 M                     R
<F+>
<P>
<R+>
  Qual  o valor de m+r?
  Qual  o nome dado a dois ngulos cuja soma das medidas  igual ao valor encontrado no item anterior?
  Quanto mede :m?
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 31. Neste tringulo {a{b{c, a letra *x* representa uma medida em graus.

<F->
                        A
                         ,                         
                        i_
                      i  _
                    i 3x_
                  i      _
                i        _
              i          _
      145 i    8x-31_           
::::::::::o:::::::::::::j
          B            C
<F+>

 a) Qual  a medida de :?{a{b{c*?
 b) Qual  o valor de *x*?
 c) Qual  a medida de cada ngulo do tringulo {a{b{c?

 32. Observe esta figura e responda:

<F->
                    X
                    o 
                   i_ e
                 i  _  e
               i55_   e
             i      _40e
           i        _     e
         i          _      e
       i            _       e
   b i            a _    60 e
::::o::::::::::::::j::::::::::o
    Y              Z        T
<F+>

 a) Qual  o valor de *a*?
 b) Quais so as medidas dos ngulos do tringulo {x{y{z?
 c) Qual  o valor de *b*?
<P>
 Problema resolvido

 33. Nesta figura _`[no adaptada_`], ~:,?{a{b* e ~:,?{p{r* so retas paralelas.
 a) Quais so as medidas dos ngulos do tringulo {m{p{r?
 b) Qual  o valor de *x*?

 :?{p{r{s*  um ngulo raso.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Primeiro calculamos o valor de *z* e de *y*:

 z+144=180
 z=180-144 -- z=36

 No tringulo {m{p{r, temos: y+2y+z=180
 3y+36=180 
 3y=180-36
<P>
 3y=144 
 y=48

<243>
 Os ngulos do tringulo {m{p{r medem:

 med :?{p{m{r*=y=48
 med :?{m{p{r*=2y=2.48=96 
 med :?{p{r{m*=z=36

  Calculamos o valor de *x*, observando as retas paralelas ~:,?{a{b* e ~:,?{p{r* e a transversal ~:,?{b{p*.

 :?{a{b{p* e :?{b{p{r* so ngulos alternos internos.

 med :?{a{b{p*= med :?{b{p{r*
 x+36=2y 
 x=2.48-36 
 x=60

 Respostas: O valor de *z*  36, de *y*  48 e de *x*  60, e as medidas dos ngulos do tringulo {m{p{r so 48, 96 e 36.
<P>
_`[{para os exerccios 34, 35 e 36, pea orientao ao professor_`]

 34. Nesta figura, ~:,?{a{b* e ~:,?{m{n* so retas paralelas. Observe-a e responda:

 :{a=z
 :{b=x+36
 :{p=y
 :{n=n
 :{m=y-30
 ngulo externo N=126

 a) Qual  o valor de *n*?
 b) Qual  o valor de *y*?
 c) Qual  o valor de *z*?
 d) Quais so as medidas dos outros ngulos do tringulo {a{p{b?
 e) Qual  o valor de *x*?

 35. Na figura a seguir _`[no adaptada_`], ^c?{a{m*  bissetriz de :?{p{a{r* e *x* representa uma medida em graus.
<P>
 a) Qual  o valor de *x*?
 b) Qual  a medida de :?{p{a{m*?
 c) Qual  a medida de :?{p{a{s*?

 36. Nesta figura _`[no adaptada_`], *m* e *n* so retas paralelas e *a* e *b* representam medidas em graus.
 a) Qual  a medida de :?{m{p{r*?
 b) Qual  o valor de *b*?
<R->

 Seo + (mais)

 Onde est X?

  Desenhe no caderno as retas *r* e *s* e os pontos A e B, como mostra a figura a seguir, e encontre o ponto X.
<P>
<F-> 
 r
 e       e          
  e       oA    
   e       e    
    e       eX  
:o::e:::::::e:::::::::
 B   e       e     
       e       e    

s :::::::::::::::::::::   
<F+>

_`[{o menino diz_`]
  "Que bom!!! Temos algumas informaes"

<R+>
  X est numa reta paralela a *r* e que passa pelo ponto A.
  X est numa reta paralela a *s* e que passa pelo ponto B.
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "Use rgua e esquadro ou dois esquadros."

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<244>
 Leitura + (mais)  

 Euclides e retas paralelas

  Euclides (300 a.C.), um matemtico de Alexandria,  considerado o grande organizador da Geometria. 
  Ele reuniu e organizou todo o conhecimento sobre a Geometria da poca em uma coleo de livros chamada *Os Elementos*. Deles constam os fundamentos da Geometria que estudamos: apoiada em algumas informaes e definies consideradas verdadeiras sem demonstraes. Essas afirmaes e definies so utilizadas para demonstrar a validade de propriedades das figuras geomtricas.
  Observe na figura a seguir a reta *r* e o ponto P. Existem infinitas retas que passam por P, mas somente uma delas  paralela a *r*.
<P> 
<F->
       P
  :::::o::::::

r :::::::::::::
<F+>

  Essa  uma das afirmaes de Euclides.

 Rgua e compasso: construo 
  de retas paralelas

  Veja como podemos desenhar a reta paralela a *r* e que contm o ponto P, usando rgua e compasso.

<R+>
 1 Traamos uma reta a qualquer pelo ponto P e que encontre a reta *r* em um ponto R.

<F->
        P
        o

r :::::::::::::::: 
<F+>

 2 Com o compasso em uma abertura qualquer e com a ponta-seca em R, traamos um arco que encontre *a* e *r* nos pontos A e B, respectivamente.

<F->
           a
           
        Po 
         
      Ao
       
           
r ::o::::::o::::::: 
    R     B
   
<F+>

 3 Com o compasso nessa mesma abertura e com a ponta-seca em P, traamos um arco que encontre *a* no ponto C.
<P>
<F->
             a 
             
          Co
           
        Po 
         
      Ao
       
           
r ::o::::::o::::::: 
    R     B
   
  
<F+>

 4 Ajustando o compasso com a abertura ^c?{a{b* e com a ponta-seca em C, traamos um arco que encontre o arco anterior em um ponto X.
<P>
<F->
             a 
             
          Co
         P
  :::::::o::::o:::: 
              X
      Ao
       
           
r ::o::::::o::::::: 
    R     B
   
  
<F+>
<R->

  A reta {p{x passa pelo ponto P e  paralela  reta *r*, pois os ngulos :?{c{p{x* e :?{p{r{b* so ngulos correspondentes e, portanto, congruentes.

<245>
 Reviso cumulativa e testes

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Calcule o valor das expresses numricas a seguir:
<P>
 a) `(-3`)3-23.`(-2`)-2
 b) 4.103+5.102-2.101-8.100
 c) `(-#;c`)3`(#"c`)-2+3-1.
  .`(-#,b`)2

_`[{para a atividade 2, pea orientao ao professor_`]

 2. Nesta figura _`[no adaptada_`], cada ponto ser ligado a um dos outros formando um segmento de reta. Ao final do trabalho, quantos segmentos de reta tero sido traados?

 3. Nesta figura, {a{b{c{d  um retngulo.

<F-> 
      A       M 2 cm D
      =:::::::::=::::::::= 
      le         e       _
1 cm l  e         e     _
      l    e         e   _
      l       e         e_
      g::::::::g:::::::::g
      B 2 cm P 2 cm C
<f+> 

 a) Que tipo de polgono  o quadriltero {a{p{c{m?
 b) Qual  aproximadamente o permetro desse quadriltero?

 4. Nesta figura, {m{n{p{r  um paralelogramo. Quais so as medidas dos ngulos obtusos desse paralelogramo?

<F->
M             R
=:::::::::::::::= 
 e               e       
   e               e      
     e               e    
       e      38 47e 
         g:::::::::::::::g
         N             P    
<F+>

_`[{para as atividades 5 e 6, pea orientao ao professor_`]

 5. Nesta figura _`[no adaptada_`], *m* e *p* so retas paralelas e *x*, *y* e *z* so medidas em graus. Quais so essas medidas?

 6. Nas figuras _`[no adaptadas_`], determine as medidas dos ngulos dos tringulos:

 7. Qual a raiz da equao ?-1-2x*~6-?x-5*~9=-?x-
  -1*~2, em _r?
 a) 0 
 b) -2 
 c) 2 
 d) #;ag

 8. Na equao ?2my+5*~4-?5-
  -my-3m*~3=m-5y, *y*  a incgnita. A raiz dessa equao :
 a) 1~?2m+12*, com m=6.
 b) 1~?2m+12*, com m=6.
 c) 1~?m-2*, com m=2. 
 d) No existe a raiz dessa equao.

 9. O valor de 37,5.10-6 :
 a) 37.500.000. 
 b) 0,0000.375. 
 c) 0,000375.
 d) 00000375.

_`[{para as atividades, 10 e 12 pea orientao ao professor_`]

 10. Nesta figura _`[no adaptada_`], *x* representa uma medida em graus. O ngulo :?{f{e{g* mede:
 a) 32
 b) 48
 c) 45
 d) 42

 11. Em um tringulo {a{b{c, med :A  a metade de med :B e med :B  um tero de med :C. As medidas dos ngulos do tringulo {a{b{c na ordem med :A, med :B e med :C so:
 a) 40, 20 e 120. 
 b) 120, 40 e 20. 
 c) 40, 120 e 20.
 d) 20, 40 e 120.

 12. Nesta figura _`[no adaptada_`], *r* e *s* so retas paralelas. A medida de :?{n{p{m* :
<P>
 a) 37
 b) 39
 c) 104
 d) 140
<R->

               oooooooooooo

<246>
<P>
 Unidade 9

 Polgonos e propriedades

<R+>
_`[{fotos no adaptadas seguidas por legendas_`]
 Legenda 1: Em colmeias de abelhas so encontradas formas hexagonais perfeitas.
 Legenda 2: Aplicaes do conhecimento sobre as formas geomtricas esto presentes na decorao de pisos e na construo de edifcios.

<F->
     ,::::::~
    i        e 
   i          e
  i            e 
               o
              i
   e          i
    e        i
     e::::::i 
<F+>
<P>
 Neste hexgono todos os lados tm medidas iguais, assim como todos os ngulos.

<247>
_`[{obra no adaptada seguida por legenda_`]
 Legenda: Unindo formas geomtricas e arte, como fez o artista plstico Victor Vasarely (1908-1977) nesta obra, o ser humano obteve resultados surpreendentes.
<R->

  A natureza que nos rodeia apresenta formas poligonais em vrios elementos. Elas inspiraram o ser humano e o incentivaram a estud-las, copi-las e utiliz-las.
  Em muitas situaes,  possvel utilizar polgonos em embalagens, brinquedos, objetos de uso cotidiano ou obras de arte, graas  descoberta de propriedades dessas formas. Vamos aprender mais sobre eles e conhecer algumas dessas propriedades.
<P>
<R+>
  J aprendemos muitas coisas sobre os tringulos. Conte algo que voc lembra sobre eles.
   possvel formar um polgono com qualquer nmero de lados?
<R->

<248>
 1 -- Polgonos

  J aprendemos muita coisa sobre polgonos, mas vamos rever alguns conceitos respondendo a algumas questes.
  Observe os dois grupos de linhas planas:

_`[{a professora diz_`]
  "Estas so polgonos" 

<F->
     ~,             
    i  e            
   i    e          
  i      e        ie
         o      i  e
        i      i    e
   e    i      i      e
    e  i      i        e
     ei      i::::::::::e
<F+>

_`[{a professora diz_`]
  "e estas no so."

<F->
pe      i
l e    i _
l  e  i  _
l   ei   _
l   o   _
l   ie   _ 
l  i  e  _
l i    e _
vi      e# 
          
pcccccccccccci
l           i
l          i
l         i
l      e  
l       e
l        e
v---------e
<F+>
<P>
<R+>
 wr
  Identifique duas caractersticas dos polgonos.
  Entre as linhas planas a seguir _`[no adaptadas_`] quais formam polgonos?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  A palavra polgono vem da palavra grega *polygonon*.

<R+>
 wr
  Descubra: qual o significado de *poli* *gono*?
<R->

  Observando os polgonos apresentados anteriormente, notamos que:
<P>
<F->
     ,:::::::::::~
    i             e 
   i               e
  i                 e 
                    o
  e                 i
   e               i
    e             i
     e:::::::::::i
<F+>

<R+>
  eles so linhas fechadas, planas;
  so formados somente por segmentos de reta que no se cruzam e tm em comum apenas uma das extremidades;
  dois segmentos de reta consecutivos no so colineares.
<R->

  Veja o significado da palavra polgono.

 poli -- muitos
 gono -- ngulo
<P>
_`[{a menina diz_`]
  "Ento, um polgono tem muitos ngulos."

_`[{a professora diz_`]
  "E vrios lados tambm!"

<249>
  Os polgonos esto presentes nestas embalagens.

<R+>
_`[{figuras: caixa de panetone, caixa de chocolate, caixa de biscoitos_`]

 wr
  Onde mais voc encontra polgonos?
<R->

 Elementos de um polgono

 Vrtices, lados e ngulos 
  internos

  O polgono a seguir tem 5 lados.
<P>
 Este  um pentgono.

<F->
            A
            ie
          i    e   
        i        e 
      i            e
    i                e  
B                    oE
   e                  i
    e                i
     e              i
      e            i
       e::::::::::i
       C       D
<F+>

  Em um polgono temos:
<R+>
  vrtices -- so os pontos A, B, C, D e E. Esse  o polgono {a{b{c{d{e.
  lados -- so os segmentos de reta ^c?{a{b*, ^c?{b{c*, ^c?{c{d*, ^c?{d{e* e ^c?{e{a*.
  ngulos internos -- so os ngulos formados por dois lados consecutivos: :?{e{a{b*,
<P>
  :?{a{b{c*, :?{b{c{d*, :?{c{d{e* e :?{d{e{a*.
<R->

 ngulos externos

  Um polgono tem tambm ngulos externos. So os ngulos formados por um lado e o prolongamento de um lado consecutivo a ele.
  ngulos externos de {a{b{c{d{e: :?{p{a{e*, :?{m{b{a*, :?{b{c{i*, :?{c{d{s* e :?{d{e{r*

<F->              
               iP
           Ai
            ie
          i    e   
        i        e 
eM   i            e
 e  i               e
 B                  o E
    e                i e
     e              i   eR
      e            i
  I:::e::::::::::i
       C        iD
             Si
<F+>
<P>
 Diagonais

  As diagonais de um polgono so os segmentos de reta que unem um vrtice a outro no consecutivo a ele.
  Diagonais de {a{b{c{d{e: ^c?{a{c*, ^c?{a{d*, ^c?{b{d*, ^c?{b{e* e ^c?{c{e*.

_`[{figura no adaptada_`]

<250>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
_`[{para as atividades 1, 3 e 5, pea orientao ao professor_`]

 1. Os prefixos gregos *tri*, *penta*, *hepta*, *octo* e *deca* significam, respectivamente, 
<P>
  trs, cinco, sete, oito e dez. Que nome damos a estes polgonos?

_`[{figuras no adaptadas_`]

 2. Identifique o nmero de vrtices e de lados dos polgonos a seguir:
 a) quadriltero 
 b) heptgono
 c) octgono

 3. Observe o polgono a seguir.

<F->
     ,:::::::::::~
    i             e 
   i               e
  i                 e 
                    o
  e                 i
   e               i
    e             i
     e:::::::::::i
<F+>

 a) Quantos vrtices ele tem?
 b) Quantas diagonais ele tem?
 c) Desenhe um polgono como este e identifique trs ngulos externos.

 4. Qual  o menor nmero de diagonais que um polgono convexo pode ter? Que polgono  esse?

 5. Neste hexgono _`[no adaptado_`], *x* representa uma medida em graus.
 a) Qual  a soma da medida de um ngulo externo qualquer com a medida do ngulo interno adjacente a ele nesse hexgono?
 b) Qual  o valor de *x*?
<R->

 Polgonos convexos

  Observe os polgonos e as retas a seguir:

<R+>
_`[{figuras no adaptadas_`]

 wr
  Quais so as retas que tm pontos comuns com o polgono A? Quantos pontos comuns?
  Quais so as retas que tm pontos comuns com o polgono B? Quantos pontos comuns?
   possvel traar alguma reta que tenha mais de dois pontos comuns com o polgono B?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<251>
  Veja novamente o polgono B, ou {m{n{p{q{r{s, e as retas *c*, *d* e *e*. Todas elas encontram apenas dois lados de {m{n{p{q{r{s. Alm disso, no  possvel traar uma reta que encontre {m{n{p{q{r{s em mais de dois lados.
  {m{n{p{q{r{s  um polgono convexo.
  Veja alguns exemplos _`[no adaptados_`]:

 {a{b{c{d  convexo.
 {x{y{z{t{u  convexo.
 {g{h{i{j{l{m  no covexo.
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 6. Desenhe um polgono como {a{b{c{d{e{f{g{h. Em seguida, trace vrias retas que interceptam os lados de {a{b{c{d{e{f{g{h. O polgono {a{b{c{d{e{f{g{h  convexo? Por qu?

<F->
A     H      E    D
pcccccc       iccccci
l      _G  Fi     i
l      _-----i     i
l                 i
l                i  
v---------------i
B             C
<F+>

 7. Entre as figuras a seguir, quais indicam polgonos convexos?
<P>
<F->
 
a)  ~,
    i  e 
   i    e
  i      e 
         o
        i
   e    i
    e  i
     ei

b) pcccccc
    l      _
    l      _
    l      _
    l      _
    l      ^ccccc
    l            _  
    v------------#

c)  ,:::::::::::~
    i             e 
   i               e
  i                 e 
                    o
  e                 i
   e               i
    e             i
     e:::::::::::i
<P>
d) pe       
    l  e     
    l    e 
    l      e
    l        e
    l        i 
    l      i 
    l    i 
    l  i 
    vi 

e) _`[{figura no adaptada_`]


f)  ,:::::::::::~
    i             e 
   i               e
  i                 e 
 i:::::::::::::::::::e
<F+>

 8. Existe algum polgono convexo que no tenha diagonais? Qual?

 9. Nesta figura :?{c{b{x*  um ngulo externo ao hexgono {a{b{c{d{e{f.

<F->
        A         F
        ,:::::::::::~
       i             e 
      i               e
     i                 e 
 B                    oE
   i e                 i
  i   e               i
 i     e             i
i       e:::::::::::i
X      C        D
<F+>

 a) :?{c{b{x*  um ngulo externo adjacente a que ngulo desse hexgono?
 b) Se med :?{a{b{c*=115, qual ser a medida de :?{c{b{x*?
 c) Na figura, `(med :?{a{b{c* + med :?{c{b{x*`)  180. Se med :?{a{b{c*=3x~5+53 e med :?{c{b{x=?x-21*~2, qual ser o valor de *x*? Nesse caso, qual  a medida do ngulo interno adjacente a :?{c{b{x*?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<252>
<p> 
 2 -- Diagonais de um polgono 
  convexo

  A partir deste momento passaremos a analisar apenas os polgonos convexos e suas propriedades.
  O polgono convexo que tem o menor nmero de lados  o tringulo.
  Observe o tringulo a seguir e note que ele no possui diagonais.

<F->
              A
             
           ^i
         ^ i
          i
     ^   i
   ^    i
 ^     i
i::::::i
B    C
<F+>

_`[{a menina diz_`]
  "Para o vrtice A, B e C so vrtices consecutivos. No h diagonais com extremidade em A!"

_`[{o menino diz_`]
  "O mesmo ocorre com B e C!"

<R+>
 wr
  Quantas diagonais h em um retngulo? Faa um desenho em seu caderno e confira a resposta.
  Quantos lados e quantos vrtices tem o polgono _`[no adaptado_`]?
  Identifique trs diagonais desse polgono.
  Quantas diagonais tm uma extremidade no vrtice A? E em B?
  Quantas diagonais ao todo tem o polgono {a{b{c{d{e{f{g? 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  O polgono a seguir _`[no adaptado_`]  um heptgono convexo.
  Voc contou todas as diagonais?
  So 14 diagonais ao todo!
<P>
  Como saber o nmero de diagonais de um polgono sem ter de desenh-las e cont-las uma a uma?
   o que veremos a seguir.
  Observe o pentgono convexo a seguir.

<F->
            A
            ie
          i    e   
        i        e 
      i            e
    i                e  
B                    oE
   e                  i
    e                i
     e              i
      e            i
       e::::::::::i
       C        D
<F+>

<R+>
  Nmero de diagonais com uma das extremidades em A: so duas, ^c?{a{c* e ^c?{a{d* ou ^c?{c{a* e ^c?{d{a*.
<R->

 e 2  igual a `(5-3`).
<P>
  Ou seja, dos 5 vrtices, eliminamos 3: A, B e E.

<R+>
  Nmero de diagonais com uma das extremidades em B: so duas, ^c?{b{d* e ^c?{b{e* ou ^c?{d{b* e ^c?{e{b*.
<R->

 So `(5-3`) diagonais

  Para o vrtice B, eliminamos tambm 3 vrtices: A, B e C.
<253>
  O que ocorre nos vrtices A e B ocorrer tambm nos demais. Para o nmero de diagonais temos:
<R+>
  em um vrtice: `(5-3`) diagonais;
  em cinco vrtices: 5.`(5-3`) diagonais.
<R->

 Cada diagonal foi contada duas 
  vezes.
 
<R+>
 nmero de lados: 5
 nmero de diagonais =?5.`(5-
  -3`)*~2=?5.2*~2=5
 nmero de diagonais =5
<R->

  Portanto, qualquer pentgono convexo tem 5 diagonais.
  Para o nmero de diagonais de um heptgono convexo, temos:
<R+>
  em um vrtice: `(7-3`) diagonais;
  em 7 vrtices: 7.`(7-3`) diagonais;
  cada diagonal foi contada duas vezes, por isso dividimos o nmero anterior por 2.

 nmero de diagonais =?7.`(7-
  -3`)*~2=?7.4*~2=14 
 nmero de diagonais =14
<R->

  Qualquer heptgono convexo tem 14 diagonais.

 Nmero de diagonais de um 
  polgono convexo qualquer

  Em um polgono convexo qualquer, representamos por *n* o nmero de vrtices. Para o nmero de diagonais, temos:
<R+>
<P>
  em um vrtice: `(n-3`) diagonais;
  em *n* vrtices: n`(n-3`) diagonais;
  cada diagonal foi contada duas vezes; dividimos o nmero anterior por 2.
<R->

 ?n`(n-3`)*~2 diagonais

  Em um polgono convexo com *n* lados e, portanto, com *n* vrtices, temos:

 nmero de diagonais= ?n.`(n-
  -3`)*~2

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 10. Considerando um decgono convexo qualquer, responda:
 a) Quantas diagonais tm uma extremidade em cada vrtice desse decgono?
<P>
 b) Quantas diagonais tem um decgono qualquer?

 11. Observe o polgono convexo a seguir _`[no adaptado_`] e responda:
 a) Que polgono  esse?
 b) Quantas diagonais tm uma extremidade em cada vrtice desse polgono?
 c) Quantas diagonais tem esse polgono?
 d) Como voc encontrou a resposta do item anterior?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<254>
 12. Indique a frmula do nmero de diagonais para um polgono convexo com 35 lados.

 13. Um dodecgono convexo  um polgono convexo que tem 12 lados.
<P>
 a) Quantos vrtices h em um dodecgono convexo?
 b) Quantas diagonais h em um dodecgono convexo?
 c) Se um dos ngulos internos de um dodecgono tiver 116, qual ser a medida do ngulo externo adjacente a ele?
 d) Se um dos ngulos internos medir `(5x+42`) e o ngulo externo adjacente a ele medir 68, qual ser o valor de *x*?

 Usando a calculadora

  Calcule o nmero de diagonais de um polgono convexo de: 13 lados; 18 lados; 29 lados.
<R->

 Seo + (mais)

 Diagonais e apertos de mos

  Snia adora festas e tambm um bom desafio.
  Na festa de aniversrio de seu pai,  medida que os convidados chegavam, cumprimentavam os outros com um aperto de mos. Cada um cumprimentou o outro uma s vez, e Snia contava os apertos de mos: "Um, dois, trs, quatro, ...".
  De repente, ela esbarrou em um convidado e perdeu a conta, mas deu um jeitinho e chegou ao nmero de apertos de mos.
  Responda:
<R+>
  Se havia 20 pessoas na festa, qual foi o nmero que Snia calculou?
  Se fossem *n* pessoas, qual seria a frmula do nmero de apertos de mos?
  Que semelhana existe entre os procedimentos que voc usou para chegar a essa frmula e a frmula do nmero de diagonais?
<R->

 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 14. Nesta figura, :?{a{e{x*  um ngulo externo do pentgono {a{b{c{d{e e :,?{e{y*  bissetriz desse ngulo.

<F->
            B
            ie
          i    e   
        i        e 
      i            e
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C                    oA
   e                  i   ^
    e                i  ^Y
     e              i ^
      e     x+16 i^x~6+12
       e::::::::::i:::::::::::
       D        E         X
<F+>

 a) Qual  o valor de *x*?
 b) Qual  a medida do ngulo externo :?{a{e{x*? E do ngulo interno :?{a{e{d*?

 15. Um icosgono  um polgono que tem 20 lados.
 a) Quantos vrtices h em um icosgono?
 b) Quantas diagonais h em um icosgono?
<P>
 16. Nesta figura _`[no adaptada_`], {a{b{c{d{e{f{g{h{i  um enegono convexo.
 a) Quantos lados h em um enegono convexo?
 b) Quantos vrtices h em um enegono convexo?
 c) Quantas diagonais h em um enegono convexo?
 d) Qual  o valor de *x* nessa figura?
 e) Qual  a medida do ngulo externo adjacente ao ngulo {a{i{h?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<255>
 Problema resolvido

 17. Existe um polgono convexo em que o nmero de diagonais  igual ao nmero de lados. Que polgono  esse? Representando por *n* o nmero de lados e considerando o nmero de diagonais do polgono que procuramos, podemos escrever:

 n=?n.`(n-3`)*~2
 2.n=2.?n.`(n-3`)*~2
 2n=n2-3n

 Como *n* representa o nmero de lados, *n*  diferente de zero e podemos dividir ambos os membros por *n*:

 2n~n=n2~n-3n~n
 2=n-3
 n=5

 Resposta: O polgono  um pentgono.

 18. Em que polgono o nmero de diagonais  o dobro do nmero de lados?
 19. Quantos lados tem um polgono em que o nmero de diagonais  o triplo do nmero de lados?
 20. Em um polgono, cada vrtice  extremidade de 9 diagonais. Que polgono  esse?
 21. Em um polgono, cada vrtice  extremidade de 17 diagonais. Que polgono  esse?
<R->

 Seo + (mais)

 Polgonos, diagonais e trabalhos 
  manuais

<R+>
  Providencie um pedao de madeira quadrangular ou retangular e trace nele um quadriculado.
  Pregue tachinhas ou pequenos pregos em alguns vrtices dos quadradinhos que voc traou.
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "Neste foram colocados 12 pregos!"

<R+>
  Arrume uma linha de bordar, de uma cor que voc goste, e ligue um prego ao outro, como se estivesse traando diagonais, passando a linha em volta deles.
  E, ento, seu trabalho ficou legal? E os dos colegas?
<R->

 Mas antes forme um polgono con-
  vexo.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<256>
 3 -- Soma das medidas dos 
  ngulos de um polgono

  J sabemos que em qualquer tringulo a soma das medidas dos ngulos internos  180.

<F->
             
           ^i
         ^ i
          i
     ^   i
   ^    i
 ^     i
i::::::i 

20+120+40=180
<P>
,
le
l  e
l    e
l      e
l        e
l          e
r:::        e
l_- _          e
v---#------------o    

55+35+90=180 

         
          
           
               
             
              
               
                
 ----------------o 

60+60+60=180   
<F+>

_`[{o professor diz_`]
  "Voc se lembra?"
<P>
_`[{o menino diz_`]
  "E nos demais polgonos quanto d essa soma?"

  Alm de saber sobre a soma das medidas dos ngulos internos de um tringulo, podemos calcular tambm essa soma para outros polgonos convexos.
  Observe o paralelogramo a seguir.

<F->
      M             T
      cccccccccccccccm  
                     
                    
                   
                  
                 
--------------- 
R            S  
<F+>

_`[{o menino em dvida_`]
  "?!?"

_`[{a menina diz_`]
  "Hummm so dois tringulos"
<P>
<R+>
 wr
  Qual  a soma das medidas dos ngulos internos desse paralelogramo?
<R->

  Traando uma das diagonais do paralelogramo {m{r{s{t, ele ser decomposto em dois tringulos: {t{m{s e {m{r{s.

_`[{figuras no adaptadas_`]

 Tringulo {t{m{s: t+z+p=180 
 Tringulo: x+r+y=180

 t+z+p+x+r+y=180+180
 t+z+x+r+y+p=360 

 z+x=m
 y+p=s
 t+m+r+s=360

  Em qualquer paralelogramo, a soma das medidas dos ngulos internos  360.
  De modo geral:

<F->
            A
            ie
          i a  e   
        i        e 
      i            e
    i                e  
B  b               d oD
   a                ^
     a            ^
       a        ^
         a c ^   
           a
            C

a+b+c+d=360
<F+>

<R+>
 Em um quadriltero convexo qualquer, a soma das medidas dos ngulos internos  360.
<R->

<257>
  Nesta figura, {a{b{c{d{e  um pentgono convexo.
<P>
<F->
           A
            ie
          i a  e   
        i        e 
      i            e
    i                e  
 B b               e oE
   e                  i
    e                i
     e              i
      e c        d i
       e::::::::::i
       C        D
<F+>

<R+>
 wr
  Qual  a soma das medidas dos ngulos internos desse pentgono?
<R->

  Na situao anterior, traando as diagonais que tm uma das extremidades no vrtice A, por exemplo, decompomos o pentgono em trs tringulos.

_`[{figura no adaptada_`]

<R+>
 Tringulos {a{b{c, {a{c{d e {a{d{e.
 So 5 vrtices e `(5-2`) tringulos.
<R->

  Em cada um destes tringulos, a soma das medidas dos ngulos internos  180.

 Tringulo {a{b{c: m+b+r=180
 Tringulo {a{c{d: n+s+t=180
 Tringulo {a{d{e: p+x+e=180

 Nos trs tringulos
 m+b+r+n+s+t+p+x+e=180+180+
  +180
 ou: m+n+p+b+r+s+t+x+e=3.#ahj 

 m+n+p=a
 r+s=c
 t+x=d
 a+b+c+d+e=540

<R+>
 Em um pentgono convexo, a soma das medidas dos ngulos internos  540.
<R->
<P>
 ngulos internos de um polgono 
  qualquer

  Se {a{b{c{m{p  um polgono convexo com *n* lados e, portanto, com *n* ngulos, ele poder ser decomposto em `(n-2`) tringulos.
  A soma das medidas dos ngulos internos:
<R+>
  em cada tringulo: 180
  em `(n-2`) tringulos: `(n-2`).180
<R->
  A soma das medidas dos ngulos internos de um polgono convexo ser:

 soma = `(n-2`).180

<258>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 22. Qual  a soma das medidas dos ngulos internos de um paralelogramo?
<P>
 23. Qual  a soma das medidas dos ngulos internos de um losango?

 24. Observe a figura dada e responda:

<F->
       A         F
       ,:::::::::::~
      i             e 
     i               e
    i                 e 
 B                   oE
   ie                 i
     e               i
      e             i
       e:::::::::::i
       C         D
<F+>

 a) Quantos vrtices ela tem?
 b) Decompondo esse polgono em tringulos, a partir de um vrtice qualquer, quantos tringulos sero obtidos?
 c) Qual  a soma das medidas dos ngulos internos desse polgono?
<P>
 d) Se nesse hexgono todos os ngulos internos fossem congruentes, qual seria a medida de cada um deles?

 25. Calcule a soma das medidas dos ngulos internos de um:
 a) decgono; 
 b) octgono; 
 c) icosgono.

 26. Neste pentgono todos os ngulos internos so congruentes:
<P>
<F->
                  i
               Yg
               i
            Ai
            ie
          i    e   
        i        e 
      i            e
    i                e  
 B                   oE
   e                  i
    e                i
     e              i
      e            i
       e::::::::::i::::::g:::
       C        D     X
<F+>

 a) Qual  a medida de cada ngulo interno desse pentgono?
 b) Qual  a medida do ngulo externo {e{d{x?
 c) Qual  a medida do ngulo externo {e{a{y?
 d) Quantos ngulos externos existem nessa figura?
 e) Qual  a soma das medidas dos ngulos externos desse pentgono?
<R->
<P>
 Troque ideias e resolva

  No pentgono {a{b{c{d{e _`[no adaptado_`], :B e :D so ngulos congruentes e :?{a{e{m*  um ngulo externo.
  Qual  o valor de *x*?

^c?{a{b*_l:,?{d{e*

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Soma das medidas dos ngulos 
  externos

  Para os polgonos convexos, podemos tambm determinar a soma das medidas de seus ngulos externos.
  Resolva as situaes a seguir em seu caderno.
<P>
<R+>
_`[{para as atividades a seguir, pea orientao ao professor_`]

 wr
  Qual  a soma das medidas dos ngulos externos do tringulo {a{b{c? Desenhe em uma folha de papel um tringulo parecido com este e recorte os ngulos externos. Depois, faa uma composio com esses ngulos em torno de um ponto qualquer e determine a soma pedida.

<F->
                e                      
                 e                                         
                  e                     
                 mieA
                 i  e
               i     e
             i        e  
           i           e
         i              e
       i                 ep
   B j::::::::::::::::::::h::::  
    i n                  C
  i
i 
<F+>
<P>
  Qual  a soma das medidas dos ngulos externos do pentgono a seguir?

<F->
               iR
             ri
             ie 
           i    e             i
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     i                e  i 
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  ie                   i  
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     Te:::::::::::i::::::::::
        e t      U
         e 
<F+>
<R->

<259>
  Desenhando em uma folha  parte as figuras apresentadas e recortando os ngulos externos, podemos comp-los, em cada caso, em torno de um ponto fixo do plano. Veja:

_`[{figuras no adaptadas_`]

 Tringulo {a{b{c
 m+n+p=360

 Pentgono {q{r{s{t{u.
 q+r+s+t+u=360

 Soma das medidas dos ngulos 
  externos de um tringulo

  Podemos tambm calcular a soma das medidas dos ngulos externos de um tringulo qualquer algebricamente.
  Observando o tringulo a seguir, podemos escrever:
<P>
<F->
                e                      
                 e                                         
                  e                     
                 mieA
                 i  e
               i  a  e
             i        e  
           i           e
         i              e
       i b             c ep
    Bj::::::::::::::::::::h::::  
    in                     C
  i
i 
<F+>

 a+m=180
 b+n=180
 c+p=180

<R+>
 Adicionamos membro a membro as trs igualdades.
<R->

 a+m+b+n+c+p=3.#ahj
 a+b+c+m+n+p=540
 180+m+n+p=540
 m+n+p=540-180
 m+n+p=360

 Soma das medidas dos ngulos 
  externos de um pentgono

  No pentgono a seguir, um ngulo interno e o ngulo externo adjacente a ele so ngulos suplementares:

<F->
               i
              iA
           m ie 
           i a  e              i
         i        e          i
       i            e      i
     i                e  si 
 B b                e oE
  i e                  i  
 i n e                i    
      e              i
       e c        d ir
     C e:::::::::i::::::::::
         e p     D
          e
<F+>

 a+m=180
 b+n=180
 c+p=180
<P>
 d+r=180
 e+s=180

  Adicionamos membro a membro as igualdades anteriores:

 a+m+b+n+c+p+d+r+e+s=5.#ahj
 a+b+c+d+e+m+n+p+r+s=900
 540+m+n+p+r+s=900
 m+n+p+r+s=900-540
 m+n+p+r+s=360

_`[{a menina diz_`]
  "A soma das medidas dos ngulos externos  sempre 360?!?"

_`[{o professor diz_`]
  "Sim, ela no depende do polgono."

<R+>
 A soma das medidas dos ngulos externos de qualquer polgono convexo  360.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<260>
<P>
 4 -- Polgonos regulares

  J aprendemos muitas coisas sobre os polgonos. Vamos explor-los um pouco mais.

<R+>
 wr
  Observe e compare os polgonos a seguir. O que eles tm em comum?

 Tringulos

<F->
         
          
           
               
                          
                           
                            
                              
 ----------------o     --------o
<F+>
<P>
 Quadrilteros

<F->
!::::::::: 
l         _      !:::::::
l         _      l       _
l         _      l       _ 
l         _      l       _
l         _      l       _
h:::::::::j      h:::::::j 
<F+>

 Hexgonos

<F->
         ie
       i    e   
     i        e 
   i            e       *:::::?
 i                e    *       ? 
l                  _  *         ?
l                  _ *           ?
l                  _ e           i
l                  _  e         i
l                  _   e       i   
 a              ^     e:::::i
   a          ^
     a      ^
       a  ^  
         a
<F+>
<R->

  Medindo os lados e os ngulos de cada polgono, constatamos que:

<R+>
 Nos tringulos:
  os lados tm medidas iguais; 
  os ngulos tm medidas iguais.

 Nos quadrilteros:
  os lados tm medidas iguais;
  os ngulos tm medidas iguais.

 Nos hexgonos:
  os lados tm medidas iguais;
  os ngulos tm medidas iguais.
<R->

  Esses polgonos so polgonos regulares, ou seja, so tringulos, quadrilteros e hexgonos regulares. Os tringulos regulares so chamados de tringulos equilteros e os quadrilteros regulares, de quadrados.
  Um polgono  regular quando todos os lados e todos os ngulos so congruentes entre si.
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 27. Quanto mede cada ngulo interno de um tringulo equiltero?
 28. O retngulo  um quadriltero regular?
 29. A soma das medidas dos ngulos internos de qualquer hexgono  720. Qual  a medida de cada ngulo interno de um hexgono regular?

 30. Calcule as medidas dos ngulos internos e externos de um polgono regular de:
 a) 8 lados;
 b) 15 lados;
 c) 20 lados.

<260>
 Problema resolvido

 31. Em um polgono regular, os ngulos internos medem 135 cada um. Quantos lados tem esse polgono?

 nmero de lados: x
 medida de um ngulo interno = ?`(x-2`).180*~x
 soma ~ x

 135=?180.x-2.#ahj*~x
 ?135.x*~x=?180x-360*~x
 x.135x~x=?180x-360*~x.x
 135x=180x-360

 360=180x-135x
 360=45x
 x=360~45
 x=8

 Resposta:  um polgono com 8 lados.  um octgono.

 32. Quantos lados tem um polgono regular cujos ngulos internos medem 140 cada um?
 33. Quantos lados tem um polgono regular cujos ngulos externos medem 30 cada um?
<P>
 34. A soma das medidas dos ngulos internos de um polgono regular  igual a 1.260. Determine a medida de cada ngulo externo desse polgono.
 35. Qual  o polgono regular cuja medida de cada ngulo interno  igual  medida do ngulo externo adjacente a ele?
<R->

 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 Problema resolvido

 36. A soma das medidas dos ngulos internos de um polgono convexo  1.260. Quantos ngulos tem esse polgono?

 A frmula da soma :
 `(Soma das medidas dos ngulos internos`) = `(n-2`).180
 1.260=`(n-2`).180

 Queremos calcular o valor de *n*.
 1.260=180.n-2.#ahj
 1.260=180n-360
 1.260+360=180n
 1.620=180n
 n=1.620~180
 n=9

 Resposta: Esse polgono tem 9 ngulos.

 37. Em um polgono convexo, a soma das medidas dos ngulos internos  2.880. Quantos lados tem esse polgono?
 38. Quantos lados tem um polgono convexo cuja soma das medidas dos ngulos internos  3.600?
 39. Calcule o valor de *x* nestas figuras:

_`[{figuras adaptadas_`]
 a) Pentgono com ngulos: 3x+13, 6x+14, 5x+45, 5x+45, 8x+13 e 7x+17.
 b) Hexgono com ngulos: 12x-44, 8x, 15x-26, 10x-14, 6x+70 e 9x+14.
<P>
 40. Os ngulos internos de um quadriltero convexo medem `(3x+28`), `(8x+43`), `(2x+42`) e `(12x-28`).
 a) Qual  o valor de *x*?
 b) Quais so as medidas dos ngulos internos desse quadriltero?

 41. Qual  o polgono regular cuja medida de cada ngulo interno  igual ao dobro da medida do ngulo externo adjacente a ele?
 42. Qual  o polgono regular no qual a soma das medidas dos ngulos internos mais a soma das medidas dos ngulos externos  igual a 900?
<R->

 Troque ideias e resolva

  Nesta figura _`[no adaptada_`], ^c?{b{a*, ^c?{c{m* e ^c?{d{e* so paralelas entre si; ^c?{c{m*  
<P>
bissetriz de :?{b{c{d* e med :?{a{b{c*  o dobro de med :?{b{c{m*.
  Qual  o valor de *x*?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Leitura + (mais)

 Polgonos regulares e 
  ladrilhamento

  O recobrimento de um plano feito somente com polgonos, sem lacunas e sem sobreposies de figuras, semelhantes aos mosaicos,  o que chamamos de ladrilhamento em Matemtica.
  Os ladrilhamentos feitos somente com polgonos regulares j eram conhecidos pelos pitagricos na Grcia. Atualmente sabemos que existem somente onze possibilidades de se combinar polgonos regulares diferentes e obter um ladrilhamento.
  Podemos combinar, por exemplo:
<R+>
  1 hexgono regular com 1 tringulo equiltero e 2 quadrados;
  2 hexgonos regulares com 2 tringulos equilteros.
<R-> 
  Se voc achou interessante, tente produzir ladrilhamentos combinando, por exemplo:
<R+>
  1 hexgono e 3 tringulos equilteros;
  2 octgonos regulares e 1 quadrado.

 Fonte: *Revista do Professor de Matemtica*, 40, So Paulo: Sociedade Brasileira de Matemtica, 1999.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
 Reviso cumulativa e testes

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Resolva esta inequao em _r:

 ?1+2y*~3+?`(3y+4`)`(3y-
  -4`)*~24o=?y`(3y+7`)*~8-1

 2. Calcule, caso exista, o valor numrico de ?-a2+
  +3b*~?2a-b* para:
 a) a=0 e b=-#,f  
 b) a=-#,b e b=-1

<263>
 3. Simplifique a frao ?5m-
  -5m2*~?10m-10*.

 4. Nesta figura, {a{b{c{d{e{f  um hexgono regular e ^c?{b{e*  paralelo a^c?{c{d*.
<P>
<F->
       A         F
       ,:::::::::::~
      i             e 
     i               e
    i                 e 
 B:::::::::::::::::::oE
    e                 i
     e               i
      e             i
       e:::::::::::i
       C         D
<F+>

 a) Que polgono  {b{c{d{e? Quanto medem os ngulos internos?
 b) Quanto medem os ngulos internos de {a{b{c{d{e{f?

 5. O polgono {l{m{n{p{r  um pentgono e *x* representa uma medida em graus. Qual  o valor de *x*? E da medida de :?{l{m{n*?

_`[{figura adaptada_`]
 Um pentgono {l{m{n{p{r mede: :L=4x, :M=7x-20, :N=5x-25, :P=2x+36 e :R=4x+43.

 6. A diferena entre as medidas de um ngulo interno e de um ngulo externo de um polgono regular  60, e um ngulo interno  obtuso.Quantos lados tem esse polgono?
 7. Simplifique a expresso ?9a2-12ab+
  +4b2*~?54a2y-24b2y* e calcule seu valor numrico para a=3, b=0 e y=-#;i.

_`[{para as atividades 8 e 9, pea orientao ao professor_`]

 8. Nesta figura _`[no adaptada_`], as retas *m* e *n* so paralelas e :,?{c{p*  bissetriz :?{a{c{o*. Qual  a medida de :?{b{a{c*?
 9. Neste pentgono _`[no adaptado_`], ^c?{a{b* e ^c?{c{d* so lados paralelos e :A e :D so ngulos congruentes. Alm disso, a medida de :A  o dobro da medida de :E. Quais so as medidas dos ngulos congruentes desse pentgono?
 10. A medida de um ngulo interno de um polgono regular  o triplo da medida do ngulo externo adjacente a ele. Determine o nmero de diagonais desse polgono.
 11. Quantas diagonais tem o polgono regular cuja diferena entre as medidas de um ngulo interno e de um ngulo externo  36?

 12. (Saresp) Considere o polgono _`[no adaptado_`]. A soma dos seus ngulos internos :
 a) 180 
 b) 360 
 c) 720 
 d) 540

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 13. Um percurso circular tem 18,5 km de dimetro. Ao percorrer #:h desse percurso voc ter percorrido, aproximadamente:
 a) 43.568 m 
 b) 4.356 m 
 c) 21.784 m
 d) 2.178 m

 14. A equao ?x-5*~?x2-4*-
  -?2x+3*~x=-6 no tem soluo para:
 a) apenas x=0.
 b) x=-2, x=0 ou x=2.
 c) apenas x=2 ou x=0.
 d) x=-4, x=0 ou x=4.

 15. A medida de ^c?{a{b* representada na figura a seguir _`[no adaptada_`], em centmetro, :
 a) ^p cm 
 b) 11 cm 
<P>
 c) 10 cm
 d) 13 cm

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 16. Um dodecgono convexo tem:
 a) 12 diagonais. 
 b) 100 diagonais. 
 c) 28 diagonais.
 d) 54 diagonais.

_`[{para as atividades 17 e 18, pea orientao ao professor_`]

 17. Observe o paraleleppedo retngulo _`[no adaptado_`] e identifique a afirmativa correta:
 a) A aresta {a{d  paralela  aresta {b{g.
 b) As faces {a{b{c{d e {e{f{g{h so perpendiculares entre si.
 c) A aresta {e{f  perpendicular  aresta {d{e.
 d) As faces {a{b{g{f e {a{b{c{d so paralelas entre si.

 18. Duzentas pessoas responderam a uma pesquisa, na qual indicaram o local que mais frequentam nos fins de semana. A distribuio das respostas est registrada na tabela a seguir:

_`[{tabela adaptada_`]
 Nmero de respostas
 Shopping -- 100
 Clube -- 50
 Restaurante -- 30
 Praia -- 20

 O grfico de setores que representa o resultado dessa pesquisa pode ser:

 19. Nesta figura, as retas paralelas *r* e *s* so cortadas pelas transversais *t* e *v*.  correto afirmar que:
<P>
<F->
              t
             
            
                   
s ---------o------------          
         d  e
           c
             
                 
               
                
                 
     a          b 
r -----------------o---- 
                     
                     v  
<F+>

 a) a+b=d+e.
 b) c+b=90.
 c) b+c+e=180.
 d) c+e=b
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Stima Parte
